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由上述两项定理,我们可得:0∈4、1∈4、2∈6、18∈99、……等等等等,因此,我们可以引入一个新的定义——
对于任意n,∈w,如果n<,则n∈w。
这样,我们不仅仅把所有由自然数组成的集合进行了处理,而且也建立了它们的良序排列。
定理3对于任意n,∈w,下述三个式子恰有一个成立:
也就是——
n∈,n=,∈n。(1)
或
n<,n=,<n。(2)
在(1)和(2)之中必有一个成立,满足(1)的称之为∈三歧性。
由(1)我们可以断定w存在三歧性,由于w的传递性,所以我们可以断定每一个自然数都有w三歧性。
3公理集合论有关序数的定义。
(1)0是序数。
(2)若a是一序数,则a+是一序数。
(3)若s是序数的一集合(即s的元都是序数,则是一序数s。
(4)任一序数都是经(1)(2)(3)获得的。
每一自然数都是序数,并且w是一序数。
对于任意自然数n,w+n是一序数。
w+w=u{w+n|n∈w}。
w+w是一序数。
证明:
首先证明{w+n|n∈w}是一集合。令f={<n,w+n,n∈w}。不难验证f是类函数,并且有
ran(f|w)={w+n|n∈w}。
由替换公理,{w+n|n∈w}是一集合,由于它所有元素都是序数,所以由(3)可得w+w是一序数。
依照上述过程,我们可有序数w+w+1、w+w+w+2、……、w+w+w、……等等等等,并且令w+w=w·2,w+w+w=w·3,……,对于任意自然数n都存在w·n,并且令w·w={w·n|n∈w}。
仿照上述过程,可有证明w+w=w·2,这一过程可以一直进行下去,获得相当复杂的序数,例如w·3、w·4、……w·w、w·w·w、……等等等等,都是序数,还可以获得更复杂的序数(比如说e序数、ζ序数、……、不可递归序数、归第不可达序数、稳定序数、反射序数、……等等等等,无止境无休止。)。,
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